Legendre多項式の正規化と直交性

まず、Legendre多項式$P_n(x)$が、$[-1,1]$で定義されているとして、この函数 の$L^2$ノルムを評価する。その前段として、Rodriguesの公式

$$P_n(x) = \DF{(-1)^n}{2^nn!}\DF{d^n}{dx^n}(1-x^2)^n$$ (Ab.266)

を証明しよう。

$$\begin{eqnarray*} && \DF{d^n}{dx^n}(1-x^2)^n \\ &=& \DF{d^n}{dx^n} \left\{ 1... ...2k} & \mbox{($m$は奇数)} \\ \end{array} \right.\\ &=& P_n(x) \end{eqnarray*}$$

次に、 $\Vert P_n\Vert _{L^2}^2$を求める。

$$\begin{eqnarray*} \Vert P_n\Vert _{L^2}^2 &=& \int_{-1}^1 \{P_n(x)\}^2 dx \\ ... ...t_{-1}^1 {P'}_n(x) \DF{d^{n-1}}{dx^{n-1}} (1-x^2)^n dx \right\} \end{eqnarray*}$$

ここで、$(1-x^2)^n$は偶函数ということに注意すると、これを($n-1$)回微分し たものは、$n$が偶数なら奇函数、$n$が奇数なら偶函数である。従って、$P_n$ を乗ずれば、必ず奇函数になるので、よって、$[]=0$である。この積分は、さら に部分積分すると、

$$\begin{eqnarray*} \Vert P_n\Vert _{L^2}^2 &=& - \DF{(-1)^n}{2^nn!} \int_{-1}^... ..._{-1}^1 {P''}_n(x) \DF{d^{n-2}}{dx^{n-2}}(1-x^2)^n dx \right\} \end{eqnarray*}$$

となるが、先程と同様に、$(1-x^2)^n$を($n-2$)回微分したものは、$n$が奇数 なら奇函数、$n$が偶数なら偶函数である。従って、${P'}_n$は$P_n$と偶奇が逆 なので、これを乗ずれば、必ず奇函数になる。よって、$[]=0$である。これらの 性質を利用して、部分積分を繰り返すと、

$$\begin{eqnarray*} \Vert P_n\Vert _{L^2}^2 &=& \DF{1}{2^nn!}\int_{-1}^1 P_n^{(n)... ...\\ &=& \DF{(2n-1)!!}{2^nn!}\DF{2(2n)!!}{(2n+1)!!}=\DF{2}{2n+1} \end{eqnarray*}$$

ただし、積分 $I_{2n+1}=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^{2n+1}\theta d\theta$に 対して、

$$\begin{eqnarray*} I_{2n+1}=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^{2n+1}\theta d\theta &=& ... ...\theta-\cos^{2n-1}\theta) d\theta \\ &=& 2n (I_{2n+1}-I_{2n-1} \end{eqnarray*}$$

という漸化式を用いると、 $I_{2n+1}=\DF{2(2n-1)!!}{(2n+1)!!}$ということが わかる。

最後に直交性を証する。$m>n$とする。

$$\begin{eqnarray*} (P_m,P_n)_2 &=& \int_{-1}^1 P_m(x) P_n(x) dx \\ &=& \DF{(-1... ...&=& \DF{(-1)^m}{2^mm!} \int_{-1}^1 P_n^{(m)}(x) (1-x^2)^m dx = 0 \end{eqnarray*}$$

ここで、$P_n$の次数が$n$であることを用いた。