オイラーの公式

この定理から、有名なオイラーの公式が導かれる。 オイラーの公式すべての実数$x$について、

$$\exp (ix) = \cos x + i \sin x$$ (7)

但し、$i$は虚数単位$\sqrt{-1}$である。実は、すべての複素数についてこの公 式は成立する。 まず、$e^x$は実解析関数である。$e^x$を$x=0$まわりにテイラー展開する と、

$$e^x = 1 + x + \DF{x^2}{2!} + \DF{x^3}{3!} + \cdots$$ (8)

となり、第$n$項の係数は $\DF{1}{n!}$である。ダランベールの収束判定より、 $$\lim_{n\rightarrow\infty} \sup_{k\leq n}\left\{\sqrt[k]{\DF{1}{k!}}\right\}=0$$であるから、収束半径 は$\infty$である。よって、$e^x$は実解析関数である。同様に、$\cos x$およ び$\sin x$は、

$$\cos x = 1 - \DF{x^2}{2!} + \DF{x^4}{4!} +\cdots \sin x = x - \DF{x^3}{3!} + \DF{x^5}{5!}\cdots$$ (9)

と展開できて、ともに収束半径が$\infty$であるから実解析関数である。 $\cos x$の展開の右辺に$\sin x$の展開の右辺の$i$倍を加えると、 $1 + ix - \DF{x^2}{2!} -i\DF{x^3}{3!} + \DF{x^4}{4!} +\cdots$となる。 これは、$\exp(ix)$を$x=0$まわりに展開したものと等しい。$e^x$、$\cos x$、 および$\sin x$は、実解析関数であるから、一致の定理より、オイラーの公式は 証明された。

複素数(以下、$\ve{C}$とする)についてもオイラーの公式は成立する事から、 任意の $z\in \ve{C}$に対し、 $e^{iz}=\cos z+i\sin z$である。従って、

$$\cos z = \DF{e^{iz}+e^{-iz}}{2} \sin z = \DF{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \tan z = \DF{\sin z}{\cos z}$$ (10)

ここで双曲線関数を三角関数の対として定義する。 双曲線関数

$$\cosh z = \DF{e^{z}+e^{-z}}{2} \sinh z = \DF{e^{z}-e^{-z}}{2} \tanh z = \DF{\sinh z}{\cosh z}$$ (11)

三角関数と双曲線関数の性質を対にして記述すると、

$$\cos^2 z + \sin^2 z = 1 \cosh^2 z -\sinh^2 z = 1$$  に対し  (12)

$$(\sin z)' = \cos z (\sinh z)' = \cosh z$$  に対し  (13)

$$(\cos z)' = -\sin z (\cosh z)' = \sinh z$$  に対し  (14)

である。また、三角関数と双曲線関数との間には、 $\cosh z=\cos(iz)$および $\sinh z=i\sin(iz)$という関係がある。

オイラーの公式は、また、三角関数の様々な基本公式を容易に導き出すのに有効 である。ここでは、 $e^{i\pi/2}=i$および $e^{i\pi}=-1$を使う。

負角の公式 $\cos (-x)=\cos x$および $\sin (-x)=-\sin x$ $e^{-ix}=\cos (-x)+i\sin (-x)$であり、 $e^{-ix}=\cos x-i\sin x$

補角の公式 $\cos (\pi-x)=-\cos x$および $\sin (\pi-x)=\sin x$ $\cos (\pi-x)+i\sin (\pi-x)= e^{i(\pi-x)}=e^{i\pi}e^{-ix}=-\cos x+i\sin x$

余角の公式 $\cos (\pi/2-x)=\sin x$および $\sin (\pi/2-x)=\cos x$ 補角の公式同様、 $e^{i(\pi/2-x)}=e^{i\pi/2}e^{-ix}=i\cos x+\sin x$

加法定理 $\cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$および $\sin(x+y)=\sin x\cos y+\sin y\cos x$ $e^{i(x+y)}=\cos(x+y)+i\sin(x+y)$であり、 $e^{i(x+y)}=e^{ix}e^{iy} =(\cos x+i\sin x)(\cos y+i\sin y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y +i(\sin x\cos y+\sin y\cos x)$

$\sin$と$\cos$の相補関係 $\cos^2 x+\sin^2 x=1$ $1=e^{ix}e^{-ix}=(\cos x+i\sin x)(\cos x-i\sin x)=\cos^2 x+\sin^2 x$

三角関数の微分 $(\cos x)'=-\sin x$および $(\sin x)'=\cos x$ $(\cos x)'+i(\sin x)'=(e^{ix})'=ie^{ix}=-\sin x+i\cos x$。また、 $ie^{ix}=e^{i(x+\pi/2)}$より、微分すると位相を$\pi/2$戻す。