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Legendre微分方程式

Legendre微分方程式

\begin{displaymath}
(1-x^2) y'' - 2xy' + n(n+1)y = 0
\end{displaymath} (Ab.252)

の解を求める。今、$\vert x\vert\leq 1$に対して解を考える。ここで境界条件として、
\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
y(1)=1\\
y(-1)<\infty\\
\end{array}\right.
\end{displaymath} (Ab.253)

とする。解を多項式展開の形に仮定すると、
\begin{displaymath}
y(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k
\end{displaymath} (Ab.254)

である。式(Ab.3)を(Ab.1)に代入すると、
\begin{displaymath}
(1-x^2) \sum_{k=2}^\infty k(k-1)a_k x^{k-2}
- 2x\sum_{k=1}^\infty ka_kx^{k-1}
+ n(n+1) \sum_{k=0}^\infty a_k x^k = 0
\end{displaymath} (Ab.255)

式(Ab.4)を整理すると、

\begin{displaymath}
\sum_{k=0}^\infty \left\{ [n(n+1)-2k-k(k-1)]a_k
x^k+(k+2)(k+1)a_{k+2}x^k\right\} =0
\end{displaymath}

$x^k$の釣り合いから、
\begin{displaymath}[n(n+1)-2k-k(k-1)]a_k = - (k+1)(k+2)a_{k+2}
\end{displaymath} (Ab.256)

式(Ab.5)は、$k=n$となれば、それより高次の項に関し、1つおきに0に 事を意味する。また、式(Ab.5)において、$a_0=1$および$a_1=0$とお くと、
\begin{displaymath}
y_1(x) = 1 - \DF{n(n+1)}{2!}x^2 + \DF{n(n+1)(n-2)(n+3)}{4...
...ots +
\DF{n!!(n+2k-1)!!}{(2k)!(n-1)!!(n-2k)!!}x^{2k} + \cdots
\end{displaymath} (Ab.257)

同様に、$a_0=0$および$a_1=1$とおくと、


\begin{displaymath}
y_2(x) = x - \DF{(n-1)(n+2)}{3!}x^3 + \DF{(n-1)(n+2)(n-3)...
... + \DF{(n-1)!!(n+2k)!!}{(2k+1)!n!!(n-2k+2)!!}x^{2k+1} + \cdots
\end{displaymath} (Ab.258)

$n$が偶数の時、式(Ab.6)、奇数の時、式(Ab.7)とすると、 Legendre函数を$n$次の多項式として定義する事が出来る。

実は、$n$が奇数の時、式(Ab.6)、偶数の時、式(Ab.7)とし ても、方程式(Ab.1)の解にはなるのであるが、境界条件 (Ab.2)を満たさない。

係数を求める為には、式(Ab.6)および式(Ab.7)を$k=n$とし て、下方に向かって解くと良い。式(Ab.5)の$k=2$とすると、

\begin{displaymath}
a_n = \DF{1}{n(n-1)}[(n^2-3n+2)-(n^2+n)]a_{n-2}
= \DF{-2(2n-1)}{n(n-1)}a_{n-2}
\end{displaymath}

一般に、$k=n-2l$に対して、

\begin{displaymath}
a_{n-2l} = \DF{-2l(2n-1)}{(n-2l+1)(n-2l+2)}a_{n-2l-2}
\end{displaymath}

従って、 $a_n=\DF{(2n-1)!!}{n!}$とおいて、
\begin{displaymath}
P_n(x) = \DF{(2n-1)!!}{n!}
\left\{
x^n - \DF{n(n-1)}{2...
...n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot 4(2n-1)(2n-3)}x^{n-4} +\cdots
\right\}
\end{displaymath} (Ab.259)

$n$にたいして、具体的に式(Ab.8)を表記すると、
$\displaystyle P_0(x)$ $\textstyle =$ $\displaystyle 1$ (Ab.260)
$\displaystyle P_1(x)$ $\textstyle =$ $\displaystyle x$ (Ab.261)
$\displaystyle P_2(x)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \DF{1}{2}(3x^2-1)$ (Ab.262)
$\displaystyle P_3(x)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \DF{1}{2}(5x^3-3x)$ (Ab.263)
$\displaystyle P_4(x)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \DF{1}{8}(35x^4-30x^2+3)$ (Ab.264)
$\displaystyle P_5(x)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \DF{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)$ (Ab.265)

図示するとこのようになる。


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Masaru Inatsu
平成17年11月30日