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Legendre多項式に関する漸化式

ここで、幾つかの漸化式を証明する。


\begin{displaymath}
(n+1) P_{n+1}(x) -(2n+1)xP_n(x) + nP_{n-1}(x) = 0
\end{displaymath} (Ab.267)

ここで表記の簡便性の為、$n$が偶数の時$n/2$となり、奇数の時$n/2-1$となる ような数を$[n/2]$とする。すると、
$\displaystyle P_n(x)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \DF{1}{2^n} \sum_{k=0}^{[n/2]}
\DF{(-1)^k(2n-2k)!}{k!(n-k)!(n-2k)!} x^{n-2k}$ (Ab.268)
$\displaystyle P_{n+1}(x)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \DF{1}{2^{n+1}} \sum_{k=0}^{[(n+1)/2]}
\DF{(-1)^k(2n-2k+2)!}{k!(n-k+1)!(n-2k+1)!} x^{n+1-2k}$ (Ab.269)
$\displaystyle xP_n(x)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \DF{1}{2^n} \sum_{k=0}^{[n/2]}
\DF{(-1)^k(2n-2k)!}{k!(n-k)!(n-2k)!} x^{n+1-2k}$ (Ab.270)
$\displaystyle P_{n-1}(x)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \DF{1}{2^{(n-1)}} \sum_{k=0}^{[(n-1)/2]}
\DF{(-1)^k(2n-2k-2)!}{k!(n-k-1)!(n-2k-1)!} x^{n-1-2k}$ (Ab.271)

式(Ab.20)の$k$$k-1$に置き換えて、$x^{n+1-2k}$の項の係数を比 較すると、左辺3項の比は $\DF{2n-2k+1}{n-2k+1}:1:\DF{-2k}{n-2k+1}$である。 よって、

\begin{displaymath}
\DF{(n+1)(2n-2k+1)-(n-2k+1)(2n+1)+n(-2k)}{n-2k+1} = 0
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
{P'}_{n+1}(x) -2x{P'}_n(x) + {P'}_{n-1}(x) = P_n(x)
\end{displaymath} (Ab.272)

式(Ab.18)、式(Ab.17)および式(Ab.20)を微分 すると、
$\displaystyle {P'}_{n+1}(x)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \DF{1}{2^{n+1}} \sum_{k=0}^{[(n+1)/2]}
\DF{(-1)^k(2n-2k+2)!(n+1-2k)}{k!(n-k+1)!(n-2k+1)!} x^{n-2k}$ (Ab.273)
$\displaystyle x{P'}_n(x)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \DF{1}{2^n} \sum_{k=0}^{[n/2]}
\DF{(-1)^k(2n-2k)!(n-2k)}{k!(n-k)!(n-2k)!} x^{n-2k}$ (Ab.274)
$\displaystyle {P'}_{n-1}(x)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \DF{1}{2^{(n-1)}} \sum_{k=0}^{[(n-1)/2]}
\DF{(-1)^k(2n-2k-2)!(n-1-2k)}{k!(n-k-1)!(n-2k-1)!} x^{n-2-2k}$ (Ab.275)

となる。式(Ab.17)、式(Ab.22)、式(Ab.23)、 および式(Ab.24)に対して、$x^{n-2k}$の各項を比較すると、その比 は $1:2n-2k+1:n-2k:-2k$となるので、よって、式(Ab.21)は成り立つ。


\begin{displaymath}
{P'}_{n+1}(x) -x{P'}_n(x) = (n+1)P_n(x)
\end{displaymath} (Ab.276)

式(Ab.16)を微分すると、
\begin{displaymath}
(n+1) {P'}_{n+1}(x) -(2n+1)x{P'}_n(x) + n{P'}_{n-1}(x) = (2n+1)P_n(x)
\end{displaymath} (Ab.277)

式(Ab.21)を$n$倍して、
\begin{displaymath}
n{P'}_{n+1}(x)-2nx{P'}_n(x)+n{P'}_{n-1}(x)=nP_n(x)
\end{displaymath} (Ab.278)

式(Ab.26)から式(Ab.27)を引くと、式(Ab.25) を得る。


\begin{displaymath}
x{P'}_n(x) - {P'}_{n-1}(x) - = nP_n(x)
\end{displaymath} (Ab.279)

式(Ab.21)を$(n+1)$倍すると
\begin{displaymath}
(n+1){P'}_{n+1}(x) -2x(n+1){P'}_n(x) + (n+1){P'}_{n-1}(x) = (n+1)P_n(x)
\end{displaymath} (Ab.280)

式(Ab.26)から式(Ab.29)を引くと、式(Ab.28) を得る。


\begin{displaymath}
(x^2-1){P'}_n(x) = nxP_n(x) -nP_{n-1}(x)
\end{displaymath} (Ab.281)

式(Ab.28)に$x$を乗ずると、
\begin{displaymath}
x^2{P'}_n(x)-x{P'}_{n-1}(x)=nxP_n(x)
\end{displaymath} (Ab.282)

式(Ab.25)の$n$$n-1$に置き換えて、式(Ab.31)から引く と、式(Ab.30)を得る。


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Masaru Inatsu
平成17年11月30日