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Legendre陪微分方程式

Legendre陪微分方程式

\begin{displaymath}
(1-x^2) y'' - 2xy' + \left\{n(n+1)-\DF{m^2}{1-x^2}\right\}y = 0
\end{displaymath} (Ab.283)

の解は、Legendre関数の導関数で表現できる。


\begin{displaymath}
y(x)=(1-x^2)^{m/2}v(x)
\end{displaymath} (Ab.284)

と置くと、
$\displaystyle y'(x) = (1-x^2)^{m/2}v'(x) -mx(1-x^2)^{m/2-1}v(x)$     (Ab.285)
$\displaystyle y''(x) = (1-x^2)^{m/2}v''(x) -2mx(1-x^2)^{m/2-1}v'(x) +$      
$\displaystyle \left(m(m-1)x^2-m\right)(1-x^2)^{m/2-2}v(x)$     (Ab.286)

となるので、これらを式(Ab.32)に代入すると、

\begin{eqnarray*}
(1-x^2)^2v''(x)-2mx(1-x^2)v'(x)+\left(m(m-1)x^2-m\right)v(x) ...
...2(1-x^2)v(x)+
\left\{n(n+1)-\DF{m^2}{1-x^2}\right\}(1-x^2)v(x)=0
\end{eqnarray*}

となるから、
\begin{displaymath}
(1-x^2)v''(x) -2(m+1)xv'(x)+(n-m)(n+m+1)v'(x)=0
\end{displaymath} (Ab.287)

一方、式(Ab.16)を$n$回微分すると、

\begin{displaymath}
(1-x^2)y^{(m+2)}-2mxy^{(m+1)}-m(m-1)y^{(m)}-2xy^{(m+1)}-2my^{(m)}
+n(n+1)y^{(m)} = 0
\end{displaymath}

従って、
\begin{displaymath}
(1-x^2)y^{(m+2)}-2(m+1)xy^{(m+1)}+(n-m)(n+m+1)y^{(m)}=0
\end{displaymath} (Ab.288)

式(Ab.36)と式(Ab.37)を比較すると、
\begin{displaymath}
P_n^m(x)=(1-x^2)^{m/2} \DF{d^m}{dx^m}P_n(x)
\end{displaymath} (Ab.289)

として式(Ab.32)の解を求める事が出来る。これをLegendre陪関数とい う。

式(Ab.15)よりRodriguesの公式は、

\begin{displaymath}
P_n^m(x)=\DF{(-1)^n}{2^nn!}(1-x^2)^{m/2}\DF{d^{n+m}}{dx^{n+m}}(1-x^2)^n
\end{displaymath} (Ab.290)

ここで、$m$が一定に対して、$P_n^m$のノルムの大きさと、$P_n^m$の直交性を 示す。まず、

\begin{eqnarray*}
\Vert P_n^m\Vert _{L^2}^2 &=&
\DF{(-1)^{2n}(n+m)!}{2^{2n}n!...
...(n+m)!}{2^nn!(n-m)!(2n+1)!!} =
\DF{2}{2n+1}\DF{(n+m)!}{(n-m)!}
\end{eqnarray*}

となる。直交性は、Legendre多項式の時と同様に部分積分し、次数より微分の回 数の方が上回る事を使って示される。従って、
\begin{displaymath}
(P_n^m,P_l^m) = \delta_{nl}\DF{2}{2n+1}\DF{(n+m)!}{(n-m)!}
\end{displaymath} (Ab.291)


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Masaru Inatsu
平成17年11月30日