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熱拡散方程式の物理的意味

熱拡散方程式の導出する。数直線$ x\in[a,b]$上に導体があるとする。 導体の比熱は$ C(x)$、密度は$ \rho(x)$、温度は$ T(x,t)$であるとしよう。この 時、導体の総熱量は

$\displaystyle Q(t)$ $\displaystyle = \int_a^b \rho(x)C(x)T(x,t) \; dx$ (4.1)

となる。

定理 4.1 (フーリエの法則)   各点での熱流は温度勾配$ \DP{T}{x}$に比例する。この時の比例係数$ K(x)$を熱伝導度とい う。

すなわち、$ x=a$における熱流出は

$\displaystyle K(a)\DP{T}{x}(a,t)$ (4.2)

であり、$ x=b$における熱流入は

$\displaystyle K(b)\DP{T}{x}(b,t)$ (4.3)

である。熱の出入りは総熱量の時間変化に等しいので、

$\displaystyle \der{Q}{t}$ $\displaystyle = K(b)\DP{T}{x}(b,t) - K(a)\DP{T}{x}(a,t)$    
  $\displaystyle = \int_a^b \DP{}{x} \left( K(x) \DP{T}{x}(x,t) \right) \; dx$ (4.4)

となる。式(4.1)及び(4.4)より、任意の区間について方程 式が成立するので、

$\displaystyle \rho(x) C(x) \DP{T}{t}(x,t)$ $\displaystyle = \DP{}{x} \left( K(x) \DP{T}{x}(x,t) \right)$ (4.5)

となる。これが熱方程式と呼ばれるものである。以降、数学的取り扱いを簡便に するため、 $ C(x)=\rho(x)=K(x)=1$とし、

$\displaystyle \DP{T}{t}$ $\displaystyle = \DDP{T}{x}$ (4.6)

を考えていくことにする。

ちなみに、$ n$次元熱方程式は

$\displaystyle \DP{T}{t}$ $\displaystyle = \nabla^2 T$ (4.7)

と与えられる。

拡散方程式も同様の手順により導出することができる。ある空間内でランダムに 運動する微粒子をマクロの立場で観察すると連続体と見做すことができる。 $ u(x,t)$をある物質の濃度としたとき、フィックの法則

$\displaystyle \DP{u}{t}$ $\displaystyle = \nabla\cdot(K\nabla u)$ (4.8)

が成り立つ。これは例えば水に溶けたある物質の濃度が攪拌せずとも平均化して いくことを示す法則である。$ K=1$とすれば、式(4.7)と式 (4.8)は同型の方程式となる。そこで熱方程式と拡散方程式を合わせ て熱拡散方程式と呼ぶ。

熱拡散方程式に限らず、偏微分方程式には境界条件を設けず全空間と対象とし た問題と、ある境界条件を設けた問題とに分けて考えることが自然である。熱拡 散方程式にすれば、以下のような具体的な問題として分類できよう。

無限区間の初期値問題

$\displaystyle \DP{u}{t}$ $\displaystyle = \DDP{u}{x} \qquad (0<t, x\in\mathbb{R})$ (4.9)
$\displaystyle u(x,0)$ $\displaystyle = u_0(x) \qquad (x\in\mathbb{R})$ (4.10)

を満たす函数$ u=u(x,t)$を求める。

有限区間の初期値境界値問題

$\displaystyle \DP{u}{t}$ $\displaystyle = \DDP{u}{x} \qquad (0<t, -\pi<x<\pi)$ (4.11)
$\displaystyle u(x,0)$ $\displaystyle = u_0(x) \qquad (-\pi<x<\pi)$ (4.12)
$\displaystyle u(-\pi,t) = u(\pi,t)$ $\displaystyle = 0 \qquad (0<t)$ (4.13)

を満たす函数$ u=u(x,t)$を求める。式(4.13)の代わりに

$\displaystyle \DP{u}{x}(-\pi,t) = \DP{u}{x}(\pi,t)$ $\displaystyle = 0 \qquad (0<t)$ (4.14)

を境界条件としても良い。式(4.13)を使うのはディレクレ問題、式 (4.14)を使うのはノイマン問題という。

本章では有限区間の熱拡散方程式について扱う。無限区間の熱拡散方程式に関し ては次章で扱う。


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Masaru Inatsu 平成21年7月27日